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¿Qué son los fractales y quién los descubrió?

¿Qué son los fractales y quién los descubrió?
Julio Báez

Julio Báez

Inventos

Los fractales son unas de las estructuras más interesantes que existen en la naturaleza. En esencia, se trata de patrones geométricos altamente complejos que se repiten de forma indefinida a diferentes escalas. Los copos de nieve, las ramificaciones de los árboles, algunos fósiles o los vasos sanguíneos de nuestro sistema circulatorio son algunos ejemplos de las muchas formas fractales que abundan en el mundo. Por eso, vale la pena preguntarse quién fue el primero en estudiar y definir estas curiosas formas.

El término fractal —del latín fractus, ‘quebrado, fracturado’— fue acuñado en 1975 por el matemático franco-estadounidense Benoît Mandelbrot (1924-2010). Este científico nacido en Polonia notó que en la naturaleza hay innumerables formas irregulares y fragmentadas que resultan imposibles de representar de forma adecuada haciendo uso sólo de la geometría euclidiana tradicional.

Tras años de meticulosas investigaciones, Mandelbrot concluyó que todas estas formas aparentemente aleatorias tienen en común una recursividad infinita; en otras palabras, en ellas la misma forma geométrica se repite una y otra vez a diferentes escalas, desde lo infinitamente pequeño hasta lo macroscópico. Por ello, el matemático definió al fractal como aquellas estructuras cuya dimensión fractal excede la dimensión topológica o euclidiana.

Brócoli romanesco

Uno de los ejemplos clásicos de formas fractales son los copos de nieve, cuya intrincada forma ramificada hexagonal se replica de manera recursiva desde el nivel macroscópico visible a simple vista hasta los pequeños detalles sólo perceptibles bajo la lente de un microscopio. Otro caso muy familiar es el de las nubes, cuya silueta irregular con forma de algodón es similar tanto si vemos muchas de ellas como si observamos los pequeños detalles.

Antecedentes fractales

Como leímos, Mandelbrot es universalmente considerado el padre de la geometría fractal, pero el largo camino hacia su descubrimiento en realidad comenzó muchos años antes del destacado trabajo de este matemático. Ya en el siglo XIX, por ejemplo, importantes matemáticos como Karl Weierstrass, Georg Cantor o Helge von Koch habían estudiado y construido manualmente las primeras curvas fractales sin conocerlas de primera mano ni con ese nombre.

En 1872, Weierstrass construyó una de las primeras curvas fractales continuas, pero no derivables en ningún punto, hoy llamada “Función de Weierstrass”. Pocos años después, Cantor sentó las bases de la teoría de conjuntos, que resulta clave para definir las propiedades fractales. Por su parte, Voc Koch elaboró en 1904 el “copo de nieve de Koch”, uno de los primeros fractales creados intencionalmente partiendo de un triángulo equilátero y agregando tres nuevos triángulos equiláteros, uno en cada lado, y así sucesivamente (ver animación).

Copo de nieve de Koch

Ya en la década de 1920, el meteorólogo y matemático Lewis Fry Richardson concibió formas más precisas de medir la longitud de las tortuosas costas británicas, anticipando así la noción de dimensión fractal. Richardson estimó la longitud de la costa en función de la escala de medición y concluyó que, a menor escala, mayor es la longitud, y tiende hacia el infinito. Fue hasta 1975 cuando Mandelbrot publicó en la prestigiosa revista Science su revolucionario artículo “How Long is the Coast of Britain”, en el que presentó formalmente su novedoso enfoque para estudiar la irregular geometría de la naturaleza e introdujo la palabra fractal.

Después de este artículo pionero, en 1977 Mandelbrot publicó su clásico e influyente libro La geometría fractal de la NaturalezaThe Fractal Geometry of Nature, en inglés— que contiene abundantes imágenes generadas por computadora de los llamados conjuntos de Mandelbrot. La capacidad de representar visualmente estos objetos fractales de forma precisa fascinó a la comunidad científica.

Desde ese momento las nuevas matemáticas fractales creadas por Mandelbrot se han aplicado para estudiar sistemas aparentemente caóticos y aleatorios en múltiples áreas, tales como las turbulencias en fluidos, las fluctuaciones en mercados bursálites, ciertos procesos biológicos o los ritmos cardíacos irregulares. Asimismo, los fractales han sido ampliamente utilizados en computación gráfica, para la compresión de imágenes digitales y, también, para generar paisajes y entornos naturales hiperrealistas.

Interior de una concha

Los fractales hoy en día

En la actualidad, la investigación en este campo de la geometría sigue descubriendo nuevas instancias de estructuras fractales en la naturaleza y aplicaciones en la ciencia y la tecnología. Se han identificado fractales en galaxias lejanas, en las intrincadas redes neuronales del cerebro, en protuberancias solares e, incluso, en la propia estructura del ADN. Así, los fractales son un ejemplo sorprendente de orden escondido en el caos, de infinita complejidad reproducida de modo recursivo a todas las escalas, desde lo astronómicamente grande hasta lo microscópicamente pequeño.

Benoît Mandelbrot abrió una nueva visión para comprender los intrincados e irregulares patrones del mundo real, omnipresentes pero invisibles al ojo humano e imposibles de representar con las herramientas matemáticas existentes. Gracias a su aguda intuición y rigurosidad matemática, hoy sabemos de los ubicuos fractales en la naturaleza y disponemos de herramientas para generarlos artificialmente.

Entonces, el legado de este visionario pensador nos sigue fascinando hoy en día. Por eso, hoy cualquiera puede darse a la tarea de buscar figuras fractales en su entorno, desde las formas colosales hasta las infinitesimales, y fascinarse con su peculiar y exótica belleza, que está a la vista de todo el mundo.

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